Bhargava มีความสนใจอย่างมากในวิชาคณิตศาสตร์ตั้งแต่เด็ก (ดู ” ทฤษฎีจำนวนและกระแสดนตรี ” ด้านล่าง) การวิจัยทางคณิตศาสตร์ของเขาย้อนหลังไปถึงปีการศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่ Princeton มีส่วนช่วยในการค้นพบล่าสุดในปี พ.ศ. 2544 ปริญญาเอก วิทยานิพนธ์ Bhargava ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่สำคัญหลายประการในสาขาของทฤษฎีจำนวนที่ต่อยอดมาจากงานของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Karl Friedrich Gauss ในปี 1801 โดยมุ่งเน้นไปที่นิพจน์พหุนามที่เรียกว่ารูปแบบกำลังสอง เช่นax 2 + bxy + cy 2ซึ่งในนั้น แต่ละเทอมมีตัวแปรที่มีเลขชี้กำลังเป็น 2 หรือเป็นผลคูณของตัวแปรสองตัว
เกาส์ได้พัฒนาวิธีการรวมสมการกำลังสองสองสมการ
( ax 2 + bxy + cy 2 = 0) ด้วยวิธีที่แตกต่างจากการบวกปกติ วิธีการดังกล่าวเรียกว่ากฎหมายองค์ประกอบ กฎองค์ประกอบของเกาส์เสนอวิธีคิดใหม่เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลข และนำไปสู่การพัฒนาสาขาคณิตศาสตร์ที่ปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต
ในงานระดับบัณฑิตศึกษา Bhargava ได้ค้นพบกฎองค์ประกอบ 13 ข้อและพัฒนากรอบทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายกฎเหล่านี้
“งานของ Bhargava โดดเด่นด้วยความเฉลียวฉลาดและความลุ่มลึก” Krishnaswami Alladi แห่งมหาวิทยาลัย Florida ใน Gainesville กล่าว การค้นพบกฎองค์ประกอบใหม่ที่คาดไม่ถึงของ Bhargava ได้สร้างแนวการวิจัยที่น่าตื่นเต้นเกี่ยวกับหัวข้อที่ไม่ค่อยเห็นกิจกรรมใดๆ ตั้งแต่สมัย Gauss
สำหรับสูตรที่แปลกใหม่และสวยงามเหล่านี้ Bhargava ไม่เพียงได้รับปริญญาเอกเท่านั้น แต่ยังได้รับทุนอันทรงเกียรติที่ Clay Mathematics Institute ในเคมบริดจ์ รัฐแมสซาชูเซตส์ ในปี 2546 เมื่ออายุ 28 ปี เขาเข้าร่วมคณะ Princeton ในตำแหน่งศาสตราจารย์เต็มตัว ซึ่งเป็นหนึ่งในนักวิชาการที่อายุน้อยที่สุด กว่าจะได้อันดับนี้มา
มายากล 15
ในขณะเดียวกัน Bhargava รู้สึกทึ่งกับคำถามที่ว่ารูปแบบกำลังสองใดแทนจำนวนเต็มบวกทั้งหมด นักคณิตศาสตร์เรียกนิพจน์ดังกล่าวว่ารูปแบบกำลังสองสากล
ช่วงต้นศตวรรษที่แล้ว รามานุจันมุ่งเน้นไปที่นิพจน์กำลังสองในรูปแบบax 2 + by 2 + cz 2 + dt 2โดยที่a , b , cและdเป็นจำนวนเต็ม เขาพบ 53 ควอดราติกสากลในกลุ่มนั้น ตัวอย่างเช่น การเปลี่ยนแปลงค่าของx , y , zและtในรูปแบบกำลังสองx 2 + 2 y 2 + 5 z 2 + 10 t 2สามารถสร้างจำนวนเต็มบวกได้ทั้งหมด เพื่อให้ได้ 14 ให้กำหนดx = 1, y = 2, z = 1, t = 0; เพื่อให้ได้ 32 ให้กำหนดให้x = 0, y = 1, z = 2 และt = 1
นักคณิตศาสตร์ต้องการทราบว่ามีสมการกำลังสองสากลอีกกี่แบบ ดังนั้นพวกเขาจึงต้องการการทดสอบอย่างง่ายเพื่อตรวจสอบว่าแบบฟอร์มที่กำหนดแทนจำนวนเต็มบวกทั้งหมดหรือไม่
ในปี 1993 จอห์น เอช. คอนเวย์แห่งพรินซ์ตันและวิลเลียม ชนีเบอร์เกอร์ นักศึกษาของเขาประกาศผลที่น่าตกใจซึ่งใช้กับเซตย่อยของรูปแบบกำลังสอง ซึ่งสามารถกำหนดได้ด้วยเมทริกซ์ประเภทเฉพาะ ในการตัดสินใจว่ารูปแบบภายในกลุ่มนั้นเป็นแบบสากลหรือไม่ พวกเขาจำเป็นต้องตรวจสอบว่าสามารถแทนจำนวนเต็มเก้าจำนวนแต่ละจำนวนได้หรือไม่: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14 และ 15 ถ้าเป็นเช่นนั้น รูปแบบกำลังสองเฉพาะแทนจำนวนเต็มบวกทั้งหมด
ผลลัพธ์นี้เป็นที่รู้จักในชื่อ “ทฤษฎีบท 15 ข้อ” มันทำหน้าที่เป็นตัวกรองแยกกลุ่มของรูปแบบกำลังสองออกเป็นนิพจน์สากลและไม่เป็นสากล
สมการกำลังสองสากลที่ Lagrange และ Ramanujan รู้จักก่อนหน้านี้อยู่ในกลุ่มย่อยที่กำหนดโดยเมทริกซ์ซึ่งพิจารณาโดย Conway และ Schneeberger ดังนั้น ทฤษฎีบทที่ 15 ยังเป็นข้อพิสูจน์อย่างรวดเร็วของทฤษฎีบทสี่กำลังสองของลากรองจ์
Conway และ Schneeberger ไม่เคยเผยแพร่การพิสูจน์ทฤษฎีบท 15 ข้อที่ยาวและซับซ้อนของพวกเขา อย่างไรก็ตาม พวกเขาดำเนินการต่อไปเพื่อพยายามขยายไปยังกลุ่มรูปแบบกำลังสองที่กว้างขึ้น ซึ่งอธิบายว่าเป็นจำนวนเต็มที่มีค่า กลุ่ม นี้ประกอบด้วยนิพจน์ เช่น 3 x 2 + xy + 5 y 2 + 6 z 2 + t 2
หลังจากทำการคำนวณเพิ่มเติม Conway และ Schneeberger คาดการณ์ว่าการทดสอบตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 290 นั้นเพียงพอที่จะบอกได้ว่ารูปแบบใดรูปแบบหนึ่งเป็นแบบสากลหรือไม่
credit : เกมส์ออนไลน์แนะนำ >>> UFABET เว็บหลัก
